В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна... Вопросы и задачи 254, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

Она длиннющая получается.......

Пусть точка О - центр пра­вильного ΔАВС.Построим AK┴BC и  отрезок DK. По теореме о 3-х перпендикулярах DK┴BC.
а)  В  правильной пирамиде все боковые ребра равны, поэтому достаточно вычислить длину ребра AD.
OA=R, R - радиус описанной около ΔАВС окружности.

Из ΔAOD по т. Пифагора имеем:


б) ΔADB=ΔBDC=ΔADC (по трем сто ронам), отсюда следует, что плоские углы при вершине пирамиды равны.
По теореме косинусов имеем:
AB²=AD²=DB²  - 2AD∙DB∙cosα,


в) Из ΔDAО имеем:

Все боковые ребра составляют с плоскостью основания одинако­ вые углы. Это следует из равенства ΔDAO=ΔDBO=ΔDCO
г) Все боковые грани наклонены к плоскости основания под
одинаковым углом. Из ΔDOК имеем:

д) ΔBAD=ΔCAD. Построим отрезок МС. (в силу равенства треугольников).
- линейный угол двугранного угла при боковом ребре пирамиды. Т.к. пирамида - правильная, то все двугран­ ные углы при боковых ребрах имеют одинаковые линейные углы.
ПостроимПо т. Пифагора имеем:


По теореме косинусов имеем;