Противоположные стороны выпуклого четырехугольника продолжены до пересечения... ГДЗ, задача 831, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

Противоположные стороны выпуклого четырехугольника продолжены до пересечения. Докажите, что около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда биссектрисы образовавшихся углов взаимно перпендикулярны.

1 ответ

Лучший ответ

Кристина Клиппель

Пожаловаться

1)   Пусть MK┴ NK. Обозначим
∟СМК=∟KMD = α, ∟MPK =90⁰ +α = ∟NPC,
∟ΑΝΚ=∟ΚΝΟ = φ,
∟NCP=180⁰-φ-90°+α = 90°+а-φ =>
∟BCD=90°-α+φ ; ∟NTK = 90°-φ = ∟ΜTΑ ,
∟ΜΑT = 180°-α-90°+φ=90°-α+φ,
∟BAD = 180⁰ -∟ΜΑT = 90° - φ +α =>
∟BAD+∟BCD = 90^е - φ + α + 90° - α + φ = 180°, т.е. четырехугольник ABCD вписанный.
2)    Пусть обратно четырехугольник ABCD - вписанный.
∟MKN=18-α-φ-(∟MNB + ∟NΜΒ) =180°-α-φ-(180°-∟ABC)=∟ABC-α-φ
∟АВС=2φ+∟BCN (как внешний угол у ΔΒΝC);
∟АВС=2α+∟ВАМ (как внешний угол у ∆MВА);
∟BAM=180^о-∟BCN   (т.к.   ABCD    - вписанный четырехугольник). 2φ+∟BCN = 2α+180°-∟BCN;
∟BCN = α-φ+90°;
∟АВС=2φ+∟BCN = α+φ+90°. Значит ∟ΜΚΝ = ∟АВС - α - φ = 90^о Что и требовалось доказать.