При движении прямая а отображается на прямую а1... ГДЗ, дополнительные задачи 518, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

а)  по условию  а || а, тогда все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости а. Предположим, что при движении не параллельна α₁, т.е. а₁  пересекает α₁, тогда точки прямой a1  находятся на различных расстояниях от плоскости α₁, что противоречит тому, что при движении  расстояние  между  точками  сохраняется.  Предположение    неверно, т.е. a₁ || α₁.
б) Дано: 

В результате движения:

Пусть Μ — точка плоскости а, в которой a пересечет а. Возьмем произвольные точки А ϵ а, В ϵ а, С ϵ а.
ΔΑΜΒ и ∆АМС — прямоугольные треугольники; АМ²=АВ² - ВМ²=
=АС² - СМ².
При движении АВ=А₁В₁, AC=A₁C₁, ΑΜ=Α₁Μ₁ (по доказанному в предыдущих задачах).
A₁M₁²= A₁B₁² - Β₁Μ₁², значит, A₁M₁  ┴ B₁M₁.
A₁M₁² =A₁C₁² - C₁M₁² , значит, A₁M₁  ┴ C₁M₁ .
Таким образом, A₁M₁ перпендикулярна плоскости α₁ по признаку перпендикулярности прямой к плоскости.