Из отрезков AA1, BB1, СС1 выберем наименьший и через эту вершину ΔАВС проведем плоскость, параллельную а. Проведем ме диану AL в ΔАВС и рассмотрим проекцию AL на построенную плос кость.
![](https://class.rambler.ru/qa-service/production/uploads/images/image/000/027/460/6c8c0a8525.jpeg)
![](https://class.rambler.ru/qa-service/production/uploads/images/image/000/027/461/4ce0ff68c0.jpeg)
значит ![](https://class.rambler.ru/qa-service/production/uploads/images/image/000/027/463/20b53f22d6.jpeg)
![](https://class.rambler.ru/qa-service/production/uploads/images/image/000/027/464/d31847d53b.jpeg)
Аналогично проведем медиану CN в ΔАВС и точно так же спроектируем ее на плоскость, параллельную пл. α, из подобия треугольников имеем:![](https://class.rambler.ru/qa-service/production/uploads/images/image/000/027/466/c49531d38b.jpeg)
Построим медиану ВК в ΔАВС, тогда ![](https://class.rambler.ru/qa-service/production/uploads/images/image/000/027/467/636030a52d.jpeg)
Значит, в ΔА1В1С1 точка М1 есть точка пересечения медиан этого треугольника.
Если М - произвольная точка пространства, а точка М1 - точка пересечения медиан ΔА1В1С1, то имеет место равенство
![](https://class.rambler.ru/qa-service/production/uploads/images/image/000/027/468/c6b437e3b0.jpeg)
Т.к.
то можно записать равенство на длины векторов: ![](https://class.rambler.ru/qa-service/production/uploads/images/image/000/027/470/05a9396395.jpeg)
Замечание. Докажем, что![](https://class.rambler.ru/qa-service/production/uploads/images/image/000/027/472/499110b3cb.jpeg)
![](https://class.rambler.ru/qa-service/production/uploads/images/image/000/027/473/36b0f9a46f.jpeg)
Итак: доказано, что ![](https://class.rambler.ru/qa-service/production/uploads/images/image/000/027/474/481bc04c9e.jpeg)
Предположим, что ΔАВС так пересекается с плоскостью а, что точка пересечения медиан лежит в плоскости α. Следовательно ММ1=0, а сумма длин перпендикуляров, проведенных из вершин ΔАВС к плоскости а, конечно же, не равна 0.
Тогда, в случае, когда некоторые стороны ΔАВС пересекаются с плоскостью а, данное равенство может терять смысл.
Ответ: в общем случае - нет.