окажите, что плоскость МNP проходит через середину К ребра АD... Вопросы и задачи 73, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

В тетраэдре АВСD точки М, N и Р являются серединами ребер АВ, ВС и СD, АС = 10 см, ВD = 12 см. Докажите, что плоскость МNP проходит через середину К ребра АD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра с плоскостью МNР.

1 ответ

Лучший ответ

Ринка-Ринка

Пожаловаться

Привет. С чертежа начни

Найдем точки пересечения пл. MNP с ребрами тетраэдра.
NP - средняя линия ΔDBC, NP || BD.
ABD, поэтому NP || пл.
ABD (теорема I).
Плоскости ABD и MNP имеют общую точку М, значит они пересекаются по прямой, проходящей через т. М в пл. ABD.
Эта прямая параллельна NP, а раз NP || BD, то эта прямая параллельна BD.
Пусть К - точка пересечения этой прямой с ребром AD (раз BD
пересекает AD тогда прямая, параллельная BD пересечет BD). ΔMAK ~ ΔBAD;

поэтому точка К - середина AD.
Утверждение доказано.
Аналогично получаем, что РК - средняя линия в ΔАDС, поэтому
РК || АС.
→ МК || BD || NP;
→MK || АС || РК.
4-угольник MNPK- параллелограмм по определению.
РMNPK = 2∙(РК + МК)= = АС+ BD;
PMNPK = 22 см.