На сторонах АВ, ВС и СА треугольника AВС отмечены... ГДЗ, задача 862, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.
На сторонах АВ, ВС и СА треугольника AВС (либо на одной из сторон и продолжениях двух других сторон) отмечены соответственно точки С1, А1 и В1. Докажите, что прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда:
б) для любой точки О, не лежащей на прямых АВ, ВС и СА, выполняется равенство 
Еще нужно?? А то ниже смотрите
Для ∆АС1С и ∆СС1В запишем теорему синусов 
Аналогично для ΔΒΑΑ1 и ΔА1АС находим
Значит если АА1, ВВ1 и CC1 пересекаются в одной точке, то по теореме Чевы выполнено (*) и наоборот, если выполнено (*), то 
ΑΑ1, ΒΒ1 и СС1 пересекаются в одной точке.
Что и требовалось доказать.
Для ΔАОС1 и ∆ВОС1 запишем теорему синусов
Аналогично из теоремы синусов для ∆ВОА1 и СОА1, ∆АОВ1 из СОВ1 получаем
Значит из теоремы Чевы следует, что АА1 ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке, тогда и только тогда, когда 
