Задача Гл.VIII №729 решается так:
Пусть в четырёхугольнике ABCD
A+ C= 180°. (1)
Проведём окружность через три вершины четырёхугольника: А, В и D (рис. а) — и докажем, что она проходит также через вершину С, т. е. является описанной около четырёхугольника ABCD.
![](https://class.rambler.ru/qa-service/production/uploads/images/image/000/056/223/7d45816895.jpeg)
Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его. Рассмотрим первый случай (рис. б). В этом случае угол C =
![](https://class.rambler.ru/qa-service/production/uploads/images/image/000/056/224/fb893f749d.jpeg)
(см. задачу Гл.VIII №718), и, следовательно,
![](https://class.rambler.ru/qa-service/production/uploads/images/image/000/056/227/ecdb03ddf0.jpeg)
![](https://class.rambler.ru/qa-service/production/uploads/images/image/000/056/225/3de720b328.jpeg)
Так как А =
![](https://class.rambler.ru/qa-service/production/uploads/images/image/000/056/228/b38a7a6e71.jpeg)
Итак, мы получили, что углы A + C > 180°. Но это противоречит условию (1), и, значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать (опираясь на задачу Гл.VIII №719), что вершина С не может лежать вне круга. Следовательно, вершина С лежит на окружности, что и требовалось доказать.