Докажите, что в выпуклый многоугольник можно вписать окружность... ГДЗ, задача 832, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

Докажите, что в выпуклый многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда окружности, вписанные в два треугольника, на которые он разделяется диагональю, касаются этой диагонали в одной точке.

1 ответ

Лучший ответ

Кристина Клиппель

Пожаловаться

Найдем разность ВС + AD - AВ- CD = X.
X= ВМ+ MС+AР + PD - BL- AL - СN - DN Т к. PD = DN ( ∟DOP = ∟DON ), CN=CK=CM; BM= ΒL, AP =AK=AL.
Значит X= (BM- BL.) + (MC - CN) + (AР - AL) + (PD - DN) = 0
Т.е. AВ + CD = ВС + AD, значит в четырехугольник ABCD
можно вписать окружность.
2) Теперь наоборот, пусть в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
Обозначим К₁К₂ = X;
AL = АК₁ = а; CK₂ = CN = b. тогда CM = CK = b + х, АР = АК₂ = а = х
Мы предполагаем, что Κ₁ ≠ К₂ ) т.е. что точки касания не совпадают.
AB+CD-BC-AD=0;
а + b - b -х -а-х= 0 => 2x = 0=> x = 0.
Значит К₁ = К₂> т.е. окружности, вписанные в ∆АВС и
∆ACD, касаются диагонали АС в одной и той же точке.