Докажите, что точки пересечения медиан треугольников лежат на одной прямой. Дополнительные задачи 398, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

Треугольники АВС, А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ расположены так, что точки А, В, С являются серединами отрезков А₁А₂, B₁В₂, С₁С₂ соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников АВС, А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ лежат на одной прямой.

1 ответ

Лучший ответ

Лена Пономарь

Пожаловаться

Пусть точки О₁, О, О₂ - точки пересечения медиан соответствующих треугольников.

Если медианы в ΔPQR пересекаются в точке О, a S - произвольная точка пространства, значит,
Перепишем это равенство для данной задачи.
Пусть т. О - точка пространства, то относительно ΔА₁В₁С₁ имеем:
а по отношению к ΔА₂В₂С₂ получим: тогда
Теперь воспользуемся тем, что если точка М - середина отрезка
АВ, то для всякой точки О имеем
Значит,
тогда
Итак, что доказывает коллинеарность а наличие у них общей т. О доказывает, что все три точки О, О₁, О₂ лежат на одной прямой.