Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна... Дополнительные задачи 112, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

Будем исходить из того, что диагональное сечение параллелепи­педа - параллелограмм.
Решим вспомогательную задачу: установим зависимость между сторонами параллелограмма и его диагоналями.

Пусть АС = d₁, DB = d₂, AD = CB = a. AB = DC = b, где = 180°- α.
Для ΔDAB запишем теорему косинусов:
= a² +b² - 2abc cos α .
Для ΔADC запишем теорему косинусов:
= a² + b² - 2abc cos(l80°- α)= a² +b² + 2abc cos α .
Складывая эти равенства, получаем:
= 2а² +2b².
Пусть ребра параллелепипеда равны а, b, с.

Для плоскости DD₁B₁B
D₁B²+   = 2∙DB² + 
Для плоскости AA₁C₁C
А₁C²+ = 2∙АС² +
Сложим равенства:
D₁B²+ + А₁С²+ = 2 ∙ DB² +2∙ + 2∙AС²  + 2 ∙ 4а² + 4b³ + 4с², а это сумма квадратов всех ребер параллелепи­ педа.
Что и требовалось доказать.