Докажите, что середины отрезков являются вершинами некоторого параллелограмма. Вопросы и задачи 375, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

Привет. Умники и умницы, поможете?))
В тетраэдре АВСD точки К и М — середины ребер АВ и СD. Докажите, что середины отрезков КС, КD, МА и МВ являются вершинами некоторого параллелограмма.

1 ответ

Лучший ответ

Ринка-Ринка

Пожаловаться

АЕ = ЕМ, KF = FC, BG = GM,
КН= HD. Точки К и М пересекаются по прямой КМ (как общие для плос костей АВМ и DCK).

FH - средняя линия в ΔDKC,
При этом КО=ОМ, где О - точка пересечения FH с отрезком КМ.
GE - средняя линия в ΔАВМ, значит,

При этом КО = ОМ, где О - точка пересечения GE с отрезком КМ. Т.е. отрезки FH и GE пересекаются в точке О.
ΔFAO~ΔCAM (по 1-му признаку). Следовательно: значит, откуда СМ=2∙ FO, но CM=MD, следовательно, MD=2FO=2 ∙ ОН, тогда FO=OH. Значит, О - середина FH.
Далее, т.к. GE - средняя линия в ΔАВМ и АК = КВ, то OE=OG, О - середина GE.
Тогда, EFGH - параллелограмм по признаку параллелограмма.