Докажите, что прямая перпендикулярна к плоскостям. ГДЗ, вопросы и задачи 472, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

Введем прямоугольную систему координат. С началом координат в т. D и осями, направленными вдоль ребер ОА, ОВ, ОС. Обозначим сторону куба через а. Тогда:
1) М₁  (а; 0; а), Р (0; а; 0), PM₁  {а; -а; а}; М (а; 0; 0), Q₁  (0; 0; a), MQ₁  (-а; 0; а}.

— направляющие векторы прямых , угол между ними равен углу между этими прямыми. 

следовательно, угол между прямыми PM₁ и MQ₁ равен 90°.
Докажем, что прямая MN₁, пересекающая прямую MQ₁ в точке М и  лежащая в плоскости MN₁Q₁, перпендикулярна прямой РМ₁.
— направляющие векторы этих прямых.

Доказали, что PM₁ ┴ MQ₁; PM₁ ┴ MN₁ лежит в  плоскости MN₁Q₁,  MN₁  лежит в плоскости MN₁Q₁. Эти прямые пересекаются  в  точке  М.  Значит,  PM₁ ┴ плоскости MN₁Q₁.
2) Прямые QN и QP₁ лежат в плоскости QNP₁  и пересекаются в точке Q

Таким образом, прямая PA₁ ┴ плоскости QNP₁.