Докажите, что прямая а параллельна боковым ребрам параллелепипеда. Дополнительные задачи 109, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

По условию, искомая прямая а есть линия пересе­чения двух плоскостей: АА₁С₁С и BB₁D₁D.
Проведем диагонали оснований параллелепипеда, они пересекаются в т. О₁ и т. О.
О пл. А₁С₁СА, Опл. B₁D₁DB.
Т. О₁ принадлежит тем же плоскостям. Следовательно, ОО₁ - прямая пересечения этих плоскостей (аксиома А₂).
Прямая а есть прямая ОО₁.
Основания   параллелепипеда   -   равные параллело­граммы;  по  свойству  параллелограмма  А₁О₁ = О₁С₁ = АО = ОС.

A₁O₁OA - параллелограмм, значит, О₁О || А₁А || С₁С. Аналогично получаем, что О₁О || В₁В || D₁D. Проведем диагонали АС₁ и А₁С. Раз А₁С₁СА - параллелограмм, то А₁Т=ТС, АТ= ТС₁ где Т - точка пересечения диагоналей.
ОТ - средняя линия ΔА₁СА; О₁Т - средняя линия ΔA₁CC₁ .
по аксиоме о параллельных прямых в плоскости точки О, О₁  и Т лежат на одной прямой, Т ОО₁, или Та. Диагонали параллелепипеда и прямая а пересекаются в одной точке.