Докажите, что плоскости параллельны. Вопросы и задачи 53, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

Три отрезка А₁А₂, В₁В₂ и С₁С₂, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны.

1 ответ

Лучший ответ

Надежда Комарова

Пожаловаться

Ооо, люблю такие задачи!

Возьмем пару отрезков А₁А₂ и В₁В₂. А₁А₂ и В₁В₂ по следствию из аксиомы А₁ (п. 3, теорема) они лежат в одной плоскости.
А₁В₁А₂В₂ - параллелограмм (диагонали 4-угольника пересекаются и в Точке пересечения делятся пополам).
А₁В₁ || А₂В₂.
Возьмем вторую пару отрезков А₁С₁и А₂С₂.
Аналогично получим, что А₁С₁ || А₂С_2.
По теореме п. 10 плоскости А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны.

а) В ΔАBC: MN - средняя линия, MN || АС.
В ΔBCD: NP - средняя линия, NP || CD,
По теореме п. 10, плоскости MNP и ACD параллельны.

- как углы с соответственно параллельными сторонами.
б) ΔNMP ~ ΔCAD (из предыд. пункта)