Докажите, что плоскости МNР и АВС параллельны. Дополнительные задачи 103, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

Похоже, нужна ваша помощь в решении задачи

На ребрах DА, DВ и DС тетраэдра DАВС отмечены точки М, N и Р так, что DМ : МА = DN : NВ = DР : РС. Докажите, что плоскости МNР и АВС параллельны. Найдите площадь треугольника МNР, если площадь треугольника АВС равна 10 см² и DМ : МА = 2 : 1.

1 ответ

Лучший ответ

Марго Робби

Пожаловаться

Поможем))

Рассмотрим ΔADC и ΔMDP.

Из условия но
AD = МА + MD, DC = DP + PС;
или отсюда
Так как у ΔADC и ΔMDP угол D - общий, а стороны, образующие пропорциональны, значит, ΔADC~ ΔMDP.
Из подобия следует:

Из равенства углов получим, что МР || АС.
Аналогично, для грани DCB, имеем, что PN || СВ.
Итак, MP || AС и PN || СВ. По теореме п. 10 пл. MNP || пл. АВС. ΔMNP ~ ΔABС (по двум углам).

Раз ΔADC ~ ΔMDP, то
т.к. площади подобных фигур относятся как квадраты линейных размеров.

Ответ: