Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра... Дополнительные задачи 101, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

Привет всем. Эту задачу мы не смогли решить самостоятельно. Кто-то может нам помочь??

Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

1 ответ

Лучший ответ

Марго Робби

Пожаловаться

Привет. А вот и решение
Соединим середины ребер, лежащих в одной грани, получим, что каждый из отрезков будет средней линией соответствующего треугольника.
MN || АВ, PQ || АВ, поэтому MV || PQ;
MQ || DC, NP || DC, поэтому MQ || NP.
Значит, 4-угольник MNPQ - параллелограмм по определению,
его диагонали QN и МР пересекаются в т. О и делятся в ней поплам Отрезки QN и МР соединяют середины противоположных ребер тетраэдра.

Повторяя проведенные выше рассуждения, заключаем, что RS и QN тоже пересекаются в точке О и делятся ей пополам.
Таким образом, все три отрезка: RS, QN, МР - пересекаются в т О и делятся в ней пополам. Утверждение доказано.