Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке. ГДЗ, дополнительные задачи 505, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины.

1 ответ

Лучший ответ

Оля Котикова

Пожаловаться

Пусть E₁, Е₂, Е₃, Е₄ — середины ребер ВС, AD, АВ и DC. Точка О
— середина отрезка E₁E₂; Е₂Е₃ — средняя линия грани ABD. Аналогично Тогда

По условию OE₂ = E₁Q, тогда Е₄О=Е₃, таким образом О — середина отрезка Е₃Е₄.

Сложим эти два равенства. Получим

Подставим (2) в (I):
значит,
Таким образом, точка О ϵ DM₁ и делит DM₁ в отношении 3:1, считая от вершины. Аналогично для других медиан.