Докажите, что из медиан данного треугольника можно построить треугольник. ГДЗ, задача 841, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

Докажите, что из медиан данного треугольника можно построить треугольник, и найдите отношение его площади к площади данного треугольника.

1 ответ

Лучший ответ

Елизавета Акжигитова

Пожаловаться

На медиане ВР отметим точку К такую, что MP = РК, тогда КС = AM т.к. ∆АРМ = ∆СРК по 1-му признаку равенства ∆. PC = АР, МР = РК, ∟APM = ∟CPK .

Т.к. в Δ точкой пересечения делятся 2:1 считая от вершины, то Значит у ΔСМК стороны равны Т.е. из медиан ∆АВС можно построить Δ. Т.к. МР = РК, то S_cmk = 2S_CMP (т.к. у ∆СМР и ∆СРК общая высота). S_BMC = 2S_cmp т.к, = 2 ∙ S_bmc = S_CMK, S_abp =S_bpc (t.k. AP = PC у этих Δ общая высота). S_abc = 2S_BPC = 6S_mpc = 3S_CMK.
Но стороны ∆СМК равны
Пусть Μ₁T || MK, тогда CM₁ = mc , CT=ma, M₁T = mb.
Т.к. они подобны и

Т.к. отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Ответ: 4/3.