Докажите, что если все ребра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны. Вопросы и задачи 175, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

Сделали

Построим SO  пл. АВС.
SA, SB, SC - наклонные, а рав­ ные наклонные имеют равные проекции, поэтому АО=ВО = СО; поэтому в пл. АВСАО = R,R- ра­диус описанной окружности.
ΔАВС  -  правильный;  про­ должим АО, СО и ВО до пересе­чения их со сторонами треугольника.
(из свойств правильного треугольника).
Соединим точки 5 и В, Ах и 5, С\ и 5.
линейный угол двугранного угла SACB.
линейный угол двугранного угла SABC.
- линейный угол двугранного угла SBCA (по определению).
ΔOB₁S = ΔOC₁S = ΔOA₁S - по двум катетам (ОВ₁ = ОС₁ = ОА₁ = r, r - радиус вписанной окружности в ΔABC, SO - общий катет),
(из равенства треугольников).
Раз все ребра тетраэдра равны, то доказанное выше справедливо и для всех двугранных углов.
Поэтому все двугранные углы равны.
Отыщем один из линейных углов двугранного угла, например, двугранного угла SBCA.
Пусть а - ребро тетраэдра, то имеем
ΔBSC: SA₁  =а sin 60° 
ΔАВС: ОА₁ 
ΔSA₁O: cos φ 
φ - острый угол.
Отсюда: φ = 
Ответ: φ =