Докажите, что через точку А проходит, и притом только одна, плоскость. Дополнительные задачи 100, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

О, это крутецкая задача на мое имхо!

а и b - скрещиваются, 
По теореме о скрещивающихся прямых (п. 7, теорема вторая) через прямую а можно провести единственную плоскость β || b.
Докажем, что через т. А можно провести плоскость γ, такую что γ || β. Через точку А провести плоскость, параллельную данной плоскости β не проходящей через т. А.
Проводим в пл. β через некоторую т. В  две произвольные пря­мые BD и ВС. Строим  две  вспомогательные  плоскости:  плоскость М- через т. А и прямую ВС и плоскость N- через т. А и прямую BD. Искомая плоскость, параллельная пл. β, должна пересечь пл. М по прямой, параллельной BС, а плоскость N- по прямой, параллельной  BD (п. 11, 1°). Отсюда способ построения пл. γ: через т. А проводим в пл. М прямую АС₁  || ВС, а в пл. N прямую AD₁  || BD. Через прямые АС₁   и  AD₁   проводим  пл.  γ.  γ  -  искомая,  так  как стороны  расположенного в пл. γ, параллельны сторонам расположенного в пл. β. Значит, γ || β.

Так как в пл. М через т. А можно провести лишь одну прямую, па­ раллельную ВС, а в плоскости N через т. А можно провести лишь одну прямую, параллельную BD, то задача имеет единственное решение.
Следовательно, через каждую точку пространства можно про­  вести единственную плоскость, параллельную данной плоскости; у - единственная плоскость.
Если же окажется, что   т. то это и будет тот случай, когда через т. А и прямую а проходит пл. β, параллельная прямой b.