Докажите, что центры граней правильного тетраэдра являются... Дополнительные задачи 316, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

DM- высота тетраэдра ABCD; L, М, N, К - центры граней тетраэдра ABCD, MP=MQ, NQ=LP, Значит, ΔPML=ΔQMN, откуда LM=MN.

ΔRMK=ΔPML, значит, ML=MK. Итак, LM=MN=MK. ΔPDQ=ΔPDR=ΔRDQ (по 3-му признаку). Т.к. LP=NQ=KR, то DL = DK = DN, и, значит, ΔDLN=ΔDLK=ΔDNK, следовательно, и LN=NK=LK.
Пусть ребро тетраэдра DABC равно a. NQ=MQ, DQ=AQ и, зна­чит, MN || AD.
ΔAQD ~ ΔMQN;

Далее, LP=NQ, DP=DQ, тогда DL=DN и LN= PQ. ΔPDQ~ΔLDN;

PQ - средняя линия ΔАВС, PQ||АС, 

Итак, MN = МК = LM = и LN = LK = KN = 
Тогда, MN=MK=LM=LN=LK=KN, то есть тетраэдр MLKN составлен из равносторонних треугольников, значит, он - правильный тетраэдр.