Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду... ГДЗ, задача 633, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

Рассмотрим для простоты треугольную правильную пирамиду. SD — высота пирамиды. Построим АЕ┴ВС, отрезок SE. По теореме о трех перпендикулярах SE┴CB
Впишем в ΔSDE полуокружность DFG. Центр О окружности лежит на катете SD, и касается сторон DE и SE ΔSED вместе с полуокружностью DFG повернем вокруг  SD. Тогда  точка  Е  опишет окружность, вписанную в ΔАВС, то есть гипотенуза SE при вращении останется внутри пирамиды, кроме в трех положений, когда SE совпадает с высотой боковых граней.
Т.е. сфера, образованная вращением полуокружности DFG, имеет единственную общую точку с каждой из боковых граней. Эта сфера касается основания пирамиды в точке D.
Центр вписанной в пирамиду ∆ABC сферы лежит на высоте SD.