Будем доказывать от противного. Предположим, что существуют два соседних натуральных числа, наибольший общий делитель
которых равен 1. Т.е. существуют два натуральных числа а и (а+1)
и натуральное число к больше единицы, которое является делителем
чисел а и (а + 1). Тогда числа а и (а + 1) можно представить в виде
а = k ∙ l, (а + 1) = k ∙ т, где l и m — некоторые натуральные числа,
причем т и l отличаются не менее, чем на единицу.
С одной стороны, (а + 1) - а - k ∙ m - k ∙ l = к ∙ (m - l), с другой стороны, (а + 1) - а = 1, т.е. к ∙ (m - l) = 1, но к ≥ 2 , а (m -1) ≥ 1, следовательно, k(m - l) > 2. Противоречие с тем, что k(m - l) = 1. Следовательно, не существует двух соседних натуральных чисел, у которых НОД больше 1, что и требовалось доказать.
