ГДЗ по геометрии Атанасян 8 класс. Гл.V №385. Докажите теорему Фалеса...

Доказательство т. Фалеса из задачи Гл.V №385.

 
Пусть на прямой l₁ отложены равные отрезки А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄, ... и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l₂ в точках В₁, В₂, В₃, В₄, ... . Требуется доказать, что отрезки В₁В₂, В₂В₃, В₃В₄, ... равны друг другу. Докажем, например, что В₁В₂ = В₂В₃.
Рассмотрим сначала случай, когда прямые l₁ и l₂ параллельны (рис а). Тогда A₁A₂ = В₁В₂ и А₂А₃ = В₂В₃ как противоположные стороны параллелограммов A₁B₁B₂A₂ и А₂В₂В₃А₃. Так как А₁А₂ = А₂А₃, то и В₁В₂ = В₂В₃.
Если прямые l₁ и l₂ не параллельны, то через точку В, проведём прямую l, параллельную прямой l₁ (рис.б). Она пересечёт прямые А₂В₂ и А₃В₃ в некоторых точках С и D. Так как А₁А₂ = А₂А₃, то по доказанному B₁C = CD. Отсюда получаем: В₁В₂ = В₂В₃ (см. задачу Гл.V  №384). Аналогично можно доказать, что В₂В₃ = В₃В₄ и т. д.