Пусть А1А2А3...Ап — правильный многоугольник, О — точка пересечения биссектрис углов А1 и А2 (рис. 307).
Соединим точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и докажем, что ОА1 = ОА2= ...=ОАп. Так как A1 = A2, то 1 = 3, поэтому треугольник А1А2O равнобедренный: в нём ОА1 = ОА2. Треугольники А1A2О и А2А3О равны по двум сторонам и углу между ними (A1A2 = А3А2, А20 — общая сторона и 3 = 4), следовательно, ОА3 = ОА1. Точно так же можно доказать, что ОА4 = ОА2, ОА5 = ОА3 и т. д.
Итак, ОА1 = ОА2= ... = ОАп, т. е. точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром О и радиусом OA1 является описанной около многоугольника.
Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например А1, А2, А3. Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника A1A2A3...An можно описать только одну окружность. Теорема доказана.
