Пусть Q — центр симметрии какого-то четырехугольника ABCD. Возможны три случая симметричного отображения: А в В, а С в D, или А в С, а В в D, или А в D, аВ в С.
Если А переходит в В, а С в D, то О — середина отрезка АВ и отрезка CD, что невозможно, так как эти отрезки являются разными сторонами многоугольника ABCD. Аналогично точка А не может перейти в точку D, а В в С. Значит А переходит в С, а В в D, так что отрезки АС и BD в точке О делятся пополам, но они являются диагоналями четырехугольника, а значит, этот четырехугольник параллелограмм.
Что и требовалось доказать.
