Пусть А1А2...Ап — правильный многоугольник, О — центр описанной окружности (рис. 308). В ходе доказательства предыдущей теоремы мы установили, что ∆ОА1 А2 = ∆ОА2А3 = ... = ∆ОАnА1, поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также будут равны: ОН1 = ОН2 =... = ОНп. Отсюда следует, что окружность с центром О и радиусом ОН1 проходит через точки H1, Н2, ..., Нп и касается сторон многоугольника в этих точках, т. е. эта окружность вписана в данный правильный многоугольник.
Докажем теперь, что вписанная окружность только одна.
Предположим, что наряду с окружностью с центром О и радиусом ОН1 есть и другая окружность, вписанная в многоугольник А1А2...Ап. Тогда её центр О1 равноудалён от сторон многоугольника, т. е. точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т. е. равен ОН1. Таким образом, вторая окружность совпадает с первой. Теорема доказана.
