Докажите, что... ГДЗ Алгебра Ершова А.П. 7 класс С-16 Вариант 2 №4.

Докажите, что при любом натуральном n
а) 8n³ - 2n кратно 3;
б) (n² + n)(n + 5) кратно 6;
в) если n³ - 4n четно, то n³ - 4n делится на 48;
г) 10ⁿ -1 кратно 9;
д) если n нечетно, то 6ⁿ + 4ⁿ + 3ⁿ + 1 кратно 7.

1 ответ

ответы

Мария Клищенкова

Пожаловаться

а) P_n = 8n² — 2n = 2n(n² — 1) = 2n(n + 1)(n — 1); Pⁿ⁺¹ = 2n(n + 1)(n + 2) → P^n-1 - P_n = 2n(n + + 1)(n + 2) — 2n(n + 1)(n — 1) = 2n(n + 1)(n + 2 — n+1) = 3- 2(n+1).
б) P_n = (n² + 2)(n + 5) = n(n+ 1)(n + 5); P_n+1= (n + 1)(n + 2)(n + 6) → P_n-1 -P_n = (n + 1)(n + 2)(n + 6)-n(n + 1)(n + 5) = (n+1)[(n + 2)(n + 6)-n(n + 5)] = (n+l)(n²+2n+6n+12—n²—5n) = 3n(n+l).
в) P_n = n³ — 4n = n(n² — 4) = n(n — 2)(n + 2) при n = 2k → P_k = 2k(2k - 2)(2k + 2);
P_k+i - P_k = = 8k(k + 1)(k + 2)-8k(k-1)(k+l) =8k(k + 1)(k + 2 — k+ 1) = 24k(k + 1). Так как k и k + 1 — последовательные числа, то Р_к кратно 48.
г) Р_n= 10ⁿ - 1; Р_n+1 = 10 ∙ 10ⁿ - 1 → Р_n+1 - Р_n = = 10 • 10ⁿ - 1 - 10ⁿ + 1 = 9 • 19n.
д) Дано Р_n = 6ⁿ + 4ⁿ + 3ⁿ + 1, если n — нечетно, то
n = 2k + 1, где к ϵ N, и Р_к = 6^2k+1+4^2k+1+3^2k+1 + 1.
Тогда Р_к mod 7 — (6^2k+1+4^2k+1 + 3^2k+1 + 1) mod 7 = = (6^2k+1 mod 7) + (4^2k+1 mod 7) + (3^2k+1 mod 7) + (1 mod 7);
(1 mod 7) = 1, (6^2k+1 mod 7) = 6, (4^2k+1 mod 7) = 4,1,2..., (3^2k+1 mod 7) = = 3,6,5...,
так как (6^2k+1 mod 7)+(4^2k+1 mod 7)+(3^2k+1 mod 7) + (1 mod 7) = 14, тo 1 + 2ⁿ + 7ⁿ + 8ⁿ делится на 7 при нечетном n.