б) Рn = n3 — n = n(n2 — 1) = (n — 1 )n(n + 1);
Рn+1 = = n(n + 1)(n + 2) →
Рn- 1 - Рn = n(n + 1)(n + 2) — (n— l)n(n+ 1) = 3n(n +1), то есть Pn+1 - Рn — кратно 3, а так как n и n + 1 последовательные число то и 2.
в) Рn = n2 — 1 = (n — 1)(n + 1) — четно, значит n = = 2к+ 1.
Pk = 2k(2k + 2) = 4k(k+ 1). Так как к и k + 1 последовательные числа, то к(к + 1) кратно 2, а значит Рk кратно 8.
г) Рn = 5n — 1; Рn+1 = 5 ∙ 5n - 1 →
Pn+1 - Рn = 5 × 5n - 1 - 5n + 1 = 5n (5 - 1) = 4 ∙ 5n.
д) Дано Рn = 1 + 2n + 7n + 8n, если n — нечетно, то n= 2k + 1, где k ϵ N, и Рk = 1 + 22k+1 +72k+1 + 82k+1.
Тогда Рk mod 9 = (1 + 22k+1 + 72k+1 + 82k+1) mod 9 = (1 mod 9) + (22k+1 mod 9) + (72k+1 mod 9) + (82k+1 mod 9);
(1 mod 9) = 1,
(22k+1 mod9) = 2,8,5...,
(72k+1 mod 9) = 7,1,4...,
(82k+1 mod 9) = 8,
так как (1 mod 9) +(22k+1 mod 9) + (72k+1 mod 9) + (82k+1 mod 9) = 18, тo 1 + 2n+ 7n+ 8n делится на 9 при нечетном n.