Докажите, что... ГДЗ Алгебра 7 класс Ершова А.П. С-15 Вариант 1 №4.

а)  Р_n = (n² + n)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2);
Р_n+1 = (n + 1)(n + 2)(n + 3) →
Р_n-1 —Р_n = (n+ 1)(n + 2)(n + 3) - n(n + 1 )(n + 2) = 3(n + 1)(n + 2).
 

б)  Р_n = n3 — n = n(n² — 1) = (n — 1 )n(n + 1);
Р_n+1 = = n(n + 1)(n + 2) →
Р_{n- 1} - Р_n = n(n + 1)(n + 2) — (n— l)n(n+ 1) = 3n(n +1), то есть P_n+1 - Р_n — кратно 3, а так как n и n + 1 последовательные число то и 2.
в)  Рn = n² — 1 = (n — 1)(n + 1) — четно, значит n =  = 2к+ 1.
P_k = 2k(2k + 2) = 4k(k+ 1). Так как к и k + 1 последовательные числа, то к(к + 1) кратно 2, а значит Р_k кратно 8.
г)   Р_n = 5ⁿ — 1; Р_n+1 = 5 ∙ 5ⁿ - 1 →
P_n+1 - Р_n = 5 × 5ⁿ - 1 - 5ⁿ + 1 = 5ⁿ (5 - 1) = 4 ∙ 5ⁿ.
д)  Дано Р_n = 1 + 2ⁿ + 7ⁿ + 8ⁿ, если n — нечетно, то n= 2k + 1, где k ϵ N, и Р_k = 1 + 2^2k+1 +7^2k+1 + 8^2k+1.
Тогда Р_k mod 9 = (1 + 2^2k+1 +  7^2k+1 + 8^2k+1) mod 9 = (1 mod 9) + (2^2k+1 mod 9) + (7^2k+1 mod 9) + (8^2k+1 mod 9);
(1 mod 9) = 1,
(2^2k+1 mod9) = 2,8,5...,
(7^2k+1 mod 9) = 7,1,4...,
(8^2k+1 mod 9) = 8,
так как (1 mod 9) +(2^2k+1 mod 9) + (7^2k+1 mod 9) + (8^2k+1 mod 9) = 18, тo 1 + 2n+ 7n+ 8n делится на 9 при нечетном n.