Без ограничения общности можем считать, что х2 > х1. Предположим, что
у2 > у1. Заметим, что отрезок — часть прямой, причём коэффициент k > 0. Предположим, что утверждение неверно. Пусть, к примеру,
=> 2x > х1 + х2. Из этого следует, что 2у > у1 + у2,
т.к. отрезок —- это часть прямой и k > 0.
Запишем условие того, что С — середина отрезка.
х22 - 2х2х + x2 + у22 - 2у2у + y2 = х1 2 - 2х1х + x2 + у12 - 2у1 у + y2 =>
х22 - х12 - 2х(х2 -х1) + у22 - у12 - 2у(у2 - у ) = 0 =>
(х2 - x1 )+ (х2 + x1 - 2х) + (у2 -у1)(у2 -у1 - 2у) = 0 — противоречие, т.к.
(х2-х1) > 0, (х2 + x1 - 2x) < 0, (у2-у1) > 0, (у 2-у1- 2у) < 0, а следовательно,
(х2 - х1)(х2 + x1- 2х) + (у2-у1)(у2-у1- 2у) < 0.
Значит, предположение
- неверно.
Аналогично доказывается ложность предположения
Следовательно,
Случай y2 < y1 сводится к предыдущему, случай когда x1 = x2 или_y1 = y2 очевиден.